Question

函數f（x）的定義域為D，若滿足：
①f（x）在D內是單調函數；
②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[-b，-a]，那么y=f（x）叫做對稱函數．
現有f（x）=

2-x

-k是對稱函數，那么k的取值范圍是（　　）

• A、[2，

  9

  4

  ）
• B、（-∞，

  9

  4

  ）
• C、（2，

  9

  4

  ）
• D、(-∞，

  9

  4

  ]（-∞，

  9

  4

  ]

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：f（x）=

2-x

在在定義域（-∞，2]上是減函數，由②可得 f（a）=-a，f（b）=-b，由此推出 a和 b 是方程

2-x

在（-∞，2]上的兩個根．利用換元法，轉化為∴k=-t²+t+2=-（t-

1

2

）²+

9

4

，在[0，+∞）有兩個不同實根，解此不等式求得 k 的范圍即為所求．

解答： 解：由于f（x）=

2-x

在（-∞，2]上是減函數，故滿足①，
又f（x）在[a，b]上的值域為[-b，-a]，
∴

2-a -k=-a 2-b -k=-b

∴a和 b 是關于x的方程

2-x

在（-∞，2]上有兩個不同實根．
令t=

2-x

在，則x=2-t²，t≥0，
∴k=-t²+t+2=-（t-

1

2

）²+

9

4

，
∴k的取值范圍是[2，

9

4

），
故選：A．

點評：本題考查函數的單調性的應用，求函數的值域，體現了轉化的數學思想，得到a和 b 是方程

2-x

在（-∞，2]上的兩個根，是解題的難點，屬中檔題