Question

5．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知$csinA=\sqrt{3}acosC$，（a-c）（a+c）=b（b-c），函數$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{3}sin（π+x）cosx+sin（\frac{π}{2}+x）cosx$
（1）求函數y=f（x）的周期和對稱軸方程；
（2）求f（B）的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式，二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，結合三角函數的圖象和性質，可得對稱軸方程
（2）利用正余弦定理求解出A，B的角的大小即可求出f（B）的值．

解答 解：函數$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{3}sin（π+x）cosx+sin（\frac{π}{2}+x）cosx$，
化簡可得：$f（x）=2{sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+1$=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+1=sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}$，
（1）∴函數f（x）的周期T$\frac{2π}{2}$═π．
對稱軸方程：令$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z，則x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
故對稱軸方程為$x=\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
（2）∵$csinA=\sqrt{3}acosC$，
正弦定理，得：$sinCsinA=\sqrt{3}sinAcosC$，
化簡得$tanC=\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{π}{3}$，
又∵（a-c）（a+c）=b（b-c），
可得：a²=b²+c²-bc=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
得：$A=\frac{π}{3}$，
故$B=π-A-C=\frac{π}{3}$．
∴$f（B）=sin（{\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．同時考查了正余弦定理的運用和計算能力．屬于中檔題．