Question

3．觀察下列三角形數表，假設第n行的第二個數為a_n（n≥2，n∈N），
（1）依次寫出第六行的所有6個數字；
（2）歸納出a_n+1與a_n的關系式，并利用遞推關系式求出a_n的通項公式（可以不證明）．

Answer 1

分析 （1）根據三角形數表知：兩側數為從1開始的自然數列，中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和，得到第六行的所有6個數字；
（2）根據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”，則第二個數等于上一行第一個數與第二個數的和，即a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求出a_n的通項公式．

解答 解：（1）依據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”，
得到第六行的所有6個數字分別為：6，16，25，25，16，6．
（2）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2．
所以a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…，a_n-a_n-1=n-1，
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=$\frac{（n-2）（n+1）}{2}$，
則a_n=$\frac{1}{2}（{n}^{2}-n+2）$，
當n=2時a₂=$\frac{1}{2}$×2²-$\frac{1}{2}$×2+1=2，也滿足上述等式，
所以a_n=$\frac{1}{2}（{n}^{2}-n+2）$（n≥2，n∈N）．

點評 本題通過三角數表構造數列，考查了數列遞推公式，累加法求出數列的通項公式，入題較難，考查觀察、歸納能力，屬中檔題．