【題目】已知多面體
，
，
，
均垂直于平面
，
，
，
，
．
（1）證明：
⊥平面
；
（2）求直線
與平面
所成的角的正弦值．
【答案】(1)見解析；（2）直線
與平面
所成的角的正弦值為
.
【解析】
（1）根據直線與平面垂直的判定定理，要證
平面
，只需證
與平面兩條相交直線垂直。根據已知條件可求與
的長度，然后跟據勾股定理可證
.。同理可得
.，進而可得平面。（2）要求直線與平面所成的角的正弦值，應先作角。由條件可得平面
平面 。所以過點
作
，交直線于點
，連結
. 可知
是與平面所成的角.根據條件可求
的三邊長，進而可由余弦定理求得
，然后可求
。進而求得
，在
中即可求得結果。
（1）由
得
，
所以
.
故
.
由
，
得
，
由
得
，
由
，得
，所以
，故.
因此平面.
（2）如圖，過點作，交直線于點，連結.
由平面得平面平面，
由得
平面，
所以是與平面所成的角.
由
得
，
所以
，故
.
因此，直線與平面所成的角的正弦值是.
方法二：
（1）如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz.
由題意知各點坐標如下：
因此
由
得.
由
得
.
所以平面.
（2）設直線與平面所成的角為
.
由（Ⅰ）可知
設平面的法向量
.
由
即
可取
.
所以
.
因此，直線與平面所成的角的正弦值是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱
的底面
是等腰直角三角形，
，側棱
底面
，且
，
是
的中點．
（1）求直三棱柱的全面積；
（2）求異面直線
與
所成角
的大小（結果用反三角函數表示）；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
和
的項數均為
，則將兩個數列的偏差距離定義為
，其中
.
（1）求數列1，2，7，8和數列2，3，5，6的偏差距離；
（2）設
為滿足遞推關系
的所有數列的集合，和
為中的兩個元素，且項數均為，若
，
，和的偏差距離小于2020，求最大值；
（3）記
是所有7項數列
或
的集合，
，且
中任何兩個元素的偏差距離大于或等于3，證明：中的元素個數小于或等于16.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】實數a，b滿足ab＞0且a≠b，由a、b、
、
按一定順序構成的數列（ ）
A. 可能是等差數列，也可能是等比數列
B. 可能是等差數列，但不可能是等比數列
C. 不可能是等差數列，但可能是等比數列
D. 不可能是等差數列，也不可能是等比數列
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}是以d為公差的等差數列，{bn}數列是以q為公比的等比數列．
（1）若數列{bn}的前n項和為Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整數q的值；
（2）在（1）的條件下，試問數列中是否存在一項bk，使得bk恰好可以表示為該數列中連續p（p∈N，p≥2）項的和？請說明理由；
（3）若b1＝ar，b2＝as≠ar，b3＝at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的約數），求證：數列{bn}中每一項都是數列{an}中的項．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，空間幾何體由兩部分構成，上部是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點
是圓錐的頂點，
是圓柱下底面的一條直徑，
、
是圓柱的兩條母線，
是弧的中點.
（1）求異面直線
與
所成的角的大小；
（2）求點
到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
，對坐標平面上任意一點
,定義
,若兩點
,
，滿足
，稱點,在曲線
同側；
，稱點,在曲線兩側.
(1)直線
過原點，線段
上所有點都在直線同側，其中
，
,求直線的傾斜角的取值范圍；
(2)已知曲線
，
為坐標原點，求點集
的面積；
(3)記到點
與到
軸距離和為
的點的軌跡為曲線
，曲線
，若曲線上總存在兩點
,
在曲線兩側,求曲線的方程與實數
的取值范圍.
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