Question

【題目】已知曲線，對坐標平面上任意一點,定義,若兩點,，滿足，稱點,在曲線同側；，稱點,在曲線兩側.

(1)直線過原點，線段上所有點都在直線同側，其中，,求直線的傾斜角的取值范圍；

(2)已知曲線，為坐標原點，求點集的面積；

(3)記到點與到軸距離和為的點的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點,在曲線兩側,求曲線的方程與實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；（3），.

【解析】

（1）由題意設出直線方程為，通過新定義，得到，求出斜率范圍，進而可求出傾斜角范圍；

（2）先由題意得到點集為圓在直線下方內部，設直線與圓的交點為，求出，進而可求出結果；

（3）先設曲線上的動點為，根據題意得到，化簡整理，即可得出軌跡方程；再由新定義，將化為，進而可得出結果.

（1）由題意，顯然直線斜率存在，設方程為，則，

因為，，線段上所有點都在直線同側，

則，

解得；故傾斜角的范圍是；

（2）因為，所以，

故，點集為圓在直線下方內部，

設直線與圓的交點為，則到的距離為，

故，

因此，所求面積為：；

（3）設曲線上的動點為，則，

化簡得曲線的方程為：，

其軌跡為兩段拋物線弧；

當時，；

當時，，

故若有，

則，解得.