Question

已知函數f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R）．給出下列四個命題：
（1）f（x）必是偶函數；
（2）當f（0）=f（2）時，f（x）的圖象必關于直線 x=1對稱；
（3）若a²-b≤0時，則f（x）在區間[a，+∞）上是增函數；
（4）f（x）有最大值|a²-b|；
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據二次函數的對稱性，偶函數圖象的對稱性，找到滿足f（0）=f（2），而圖象不關于x=1對稱的例子，二次函數符號和判別式△的關系，以及二次函數的圖象即可寫出真命題的序號．

解答： 解：（1）根據二次函數圖象的形狀知，若a≠0，f（x）關于x=a對稱，所以f（x）不關于y軸對稱，也不關于原點對稱；
∴函數f（x）是非奇非偶函數，∴（1）為假命題；
（2）令a=0，b=-2，滿足f（0）=f（2），但f（x）對稱軸是y軸不是x=1，∴（2）錯誤；
（3）a²-b≤0時，對于函數x²-2ax+b，△=4a²-4b≤0，所以x²-2ax+b≥0；
∴f（x）=x²-2ax+b，所以f（x）在[a，+∞）上是增函數，∴（3）是真命題；
（4）根據f（x）的圖象便知f（x）無最大值，∴（4）是假命題；
∴只有（3）是真命題．
故答案為：（3）．

點評：考查二次函數的對稱性，偶函數的圖象的對稱性，舉反例的方法，二次函數取值情況和判別式△的關系，以及二次函數圖象的特點．