Question

1．已知函數$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-ax+1$，下列結論中錯誤的是（　　）

• A． 當-2＜a＜2時，函數f（x）無極值
• B． 當a＞2時，f（x）的極小值小于0
• C． 當a=2時，x=1是f（x）的一個極值點
• D． ?a∈R，f（x）必有零點

Answer 1

分析 根據函數的單調性以及a的范圍分別對各個選項進行判斷即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-a≥2-a，
故-2＜a＜2時，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）遞增，函數無極值，
故A正確；
（2）a＞2時，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4＞0，
x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＞0，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）遞增，在$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）遞減，在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞）遞增；
故f（x）的極小值是f（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）=ln$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{a\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$+$\frac{1}{2}$＜lna-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
令h（a）=lna-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，（a＞2），h′（a）=$\frac{1}{a}$-a＜0，
故h（a）在（2，+∞）遞減，h（a）＜h（2）=ln2-$\frac{3}{2}$＜0，
故a＞2時，f（x）的極小值小于0，
故B正確；
（3）a=2時，f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≥0，f（x）遞增，無極值點，
故C錯誤；
（4）x→0時，f（x）→-∞，
x→+∞時，f（x）→+∞，
顯然f（x）有零點，
故D正確；
故選；C．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．