Question

函數f（x）=（0＜x＜1）的反函數為f^-1（x），數列{a_n}和{b_n}滿足：，a_n+1=f^-1（a_n），函數y=f^-1（x），的圖象在點（n，f^-1（n））（n∈N^*）處的切線在y軸上的截距為b_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{-}的項中僅-最小，求λ的取值范圍；
（3）令函數g（x）=[f^-1（x）+f（x）]-，0＜x＜1．數列{x_n}滿足：x₁=，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n）（其中n∈N^*）．證明：++…+＜．

Answer 1

解：（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函數f（x）的反函數．
則，得．∴是以2為首項，1為公差的等差數列，故．
（2）∵，∴，∴y=f^-1（x）在點（n，f^-1（n））處的切線方程為，令x=0得．
∴．
∵僅當n=5時取得最小值，∴．
∴λ的取值范圍為（9，11）．
（3）．
所以，又因0＜x_n＜1，則x_n+1＞x_n．顯然．
∴
∴=∵，
∴，∴∴．
分析：（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．所以函數f（x）的反函數．由，得由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由，知y=f^-1（x）在點（n，f^-1（n））處的切線方程為，令x=0得．由此能求出λ的取值范圍．
（3）．所以，由0＜x_n＜1，知x_n+1＞x_n．．由此入手能夠證明：++…+＜．
點評：本題考查數列和函數的綜合運用，解題時要認真審題，注意導數的合理運用，恰當地進行等價轉化．