Question

已知函數f（x）=x+lgx．
（Ⅰ）利用函數單調性的定義證明函數f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；
（Ⅱ）證明方程f（x）=3在區間（1，10）上有實數解；
（Ⅲ）若x₀是方程f（x）=3的一個實數解，且x₀∈（k，k+1），求整數k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明：設0＜x₁＜x₂，證明f（x₁）-f（x₂）＜0即可；                                        
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（1）g（10）=（-2）×8＜0，利用函數零點的判定定理即可得出方程f（x）=3在（0，+∞）有實數解．        
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
由g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函數y=g（x）在 （0，+∞）是單調遞增的．即可得出函數g（x0有唯一的零點x₀∈（2，3）．可得k．

解答：（Ⅰ）證明：設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=x₁+lgx₁-（x₂+lgx₂）=(x1-x2)+lg

x1

x2

．
∵設0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，ln

x1

x2

＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；                                        
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（1）g（10）=（-2）×8＜0，且y=g（x）的圖象在（1，10）是不間斷的，
方程f（x）=3在（0，+∞）有實數解．        
（III）令g（x）=f（x）-3=x+lgx-3，
∵g（2）g（3）=（lg2-1）×lg3＜0，且函數y=g（x）在 （0，+∞）是單調遞增的．
∴函數g（x0有唯一的零點x₀∈（2，3）．
故k=2．

點評：熟練掌握函數單調性的定義、函數零點的判定定理等是解題的關鍵．