Question

已知函數f(x)=

1

2

x²+ax+2blnx
（1）若b=1時，函數f（x）在（0，1）上不單調，求實數a的取值范圍；
（2）若函數在（0，m）和（n，+∞）上為增函數，在（m，n）上為減函數（其中0＜m＜1，1＜n＜2）．求b-a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，由于函數f（x）在（0，1）上不單調的情況不好討論，要使函數f（x）在區間上是單調函數，則導數≤0或≥0恒成立，列出不等式求出解集即可到得到a的取值范圍；
（2）由函數的單調區間，得到導函數為0的解為m，n，再依據0＜m＜1，1＜n＜2，得到有關a，b的不等式，得到可行域，由線性規劃問題，得到b-a的取值范圍．

解答：解：（1）由已知f′(x)=x+a+

2

x

，若函數f（x）在（0，1）上單調，
則x+a+

2

x

≥0恒成立，或x+a+

2

x

≤0恒成立，
由x+a+

2

x

≥0（0＜x＜1）恒成立等價于x+

2

x

≥-a，
令μ(x)=x+

2

x

，則μ（x）在（0，1）上為減函數，所以μ（x）＞μ（1）=3，則3≥-a，即a≥-3．
由x+a+

2

x

≤0（0＜x＜1）恒成立等價于x+

2

x

≤-a，
令μ(x)=x+

2

x

，則μ（x）在（0，1）上為減函數，所以μ（x）＞μ（1）=3，
所以x+a+

2

x

≤0（0＜x＜1）不恒成立．
綜上所述a≥-3．
（2）因為f′(x)=x+a+

2b

x

=

x2+ax+2b

x

由已知：g（x）=x²+ax+2b=0的兩根為m，n．
則

g′(0)＞0   g′(1)＜0    g′(2)＞0

，即

b＞0   1+a+2b＜0   4+2a+2b＞0

令μ=b-a，則b=a+μ，即μ為過點（a，b）且斜率為1的直線在b軸上的截距，
由

1+a+2b=0 a+b+2=0

得

a=-3 b=1

，即C（-3，1）
由可行域得：直線過點（-1，0），（-3，1）時，μ分別取最小值1，最大值4．
所以1＜b-a＜4．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．掌握不等式恒成立時所取的條件．同時考查了簡單線性規劃的問題．