Question

20．已知函數f（x）的導數為f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）＞0對x∈R恒成立，則下列函數在實數集內一定是增函數的為（　　）

• A． f（x）
• B． xf（x）
• C． e^xf（x）
• D． xe^xf（x）

Answer 1

分析 利用函數的導數，判斷導函數的符號，推出函數的單調性，化簡求解即可．

解答 解：設F（x）=xe^xf（x），則F′（x）=（x+1）e^xf（x）+xe^xf（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]．
∵（x+1）f（x）+xf′（x）＞0對x∈R恒成立，且e^x＞0．
∴F′（x）＞0，∴F（x在R上遞增，
故選：D．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性與導數的關系，考查轉化思想以及計算能力．