Question

【題目】函數，．

求的單調區間；

對，使成立，求實數m的取值范圍；

設在上有唯一零點，求正實數n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的遞增區間是，，的遞減區間是，；（2）（3）

【解析】

求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；問題等價于，，根據函數的單調性求出m的范圍即可；求出函數的導數，通過討論n的范圍，得到函數的單調區間，從而確定n的范圍即可．

，

當，

即時，

，遞增，

當，

即時，

，遞減，

綜上，的遞增區間是，，

的遞減區間是，；

，

即，

設，

則問題等價于，，

一方面由可知，當時，，

故在遞增，

，

另一方面：，

，

由于，

又，

當，，在遞增，

，

故，；

，，

，

若，則，遞增，

無零點，

若時，設，

則，

故遞增，

，，

故存在，使得，

故時，，即，遞減，

時，，即，遞增，

故時，無零點，

當時，，，存在唯一零點，

綜上，時，有唯一零點．