【題目】求滿足如下條件的最小正整數
：在
的圓周上任取個點
，則在
個
中，至少有2007個不超過
.
【答案】91
【解析】
首先，當
時，如圖，設
是
的直徑，在點
和
的附近分別取45個點，此時，只有
個角不超過
.所以，不滿足題意.
其次，當
時，接下來證明：至少有2007個角不超過.
對圓周上的91個點
，若
，則聯結
，這樣就得到一個圖
.設圖中有
條邊.
當，
時，
，故圖中沒有三角形.
若
，則有
個角不超過，命題得證.
若
，不妨設
、
之間有邊相連，因為圖中沒有三角形，所以，對于點
，它至多與、中的一個有邊相連.從而，
，其中，
表示從 處引出的邊數.又
，而對圖中每一條邊的兩個頂點
、
，都有
.
于是，上式對每一條邊求和可得
.
由柯西不等式得
.
故
，
.
因此，91個頂點中，至少有
個點對，它們之間沒有邊相連.從而，對應的頂點所對應的角不超過 .
綜上所述，
的最小值為91.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
的圖象如圖所示，為了得到函數
的圖象，可以把函數的圖象（ ）
A.先向左平移
個單位，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的
倍（縱坐標不變）
B.先向左平移
個單位，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的
（縱坐標不變）
C.每個點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位
D.每個點的橫坐標伸長到原來的
倍（縱坐標不變），再向左平移個單位
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構作：先在地平面a內作菱形ABCD,邊長為1,∠BAD=60°，再在a的上方，分別以△ABD與△CBD為底面安裝上相同的正棱錐P-ABD與Q-CBD，∠APB=90°.
（1）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（2）求點P到平面QBD的距離.
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