Question

15．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距6海里，漁船乙以5 海里/小時的速度從島嶼A出發沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．
（1）求漁船甲的速度；
（2）求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中使用余弦定理計算BC，從而得出漁船甲的速度；
（2）在△ABC中，使用正弦定理計算∠BCA，從而得出sinα．

解答 解：（1）依題意，∠BAC=120°，AB=6，AC=5×2=10，∠BCA=α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠BAC
=6²+10²-2×6×10×cos120°=196．
解得BC=14，所以漁船甲的速度為$\frac{BC}{2}=7$海里/小時．
答：漁船甲的速度為7海里/小時．
（2）在△ABC中，因為AB=6，∠BAC=120°，BC=14，∠BCA=α，
由正弦定理，得$\frac{AB}{sinα}=\frac{BC}{sin120°}$．
即$sinα=\frac{ABsin120°}{BC}=\frac{{6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{14}=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．
答：sinα的值為$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．

點評 本題考查了正余弦定理在三角形中的實際應用，屬于中檔題．