Question

13．以0（±$\sqrt{2}$，0）為焦點、坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓M與圓N外切，圓N的方程為（x-3）²+y²=1．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若過原點的直線交圓N于A，B兩點，且AB的中點為C，求點C的軌跡方程；
（3）若過圓心N且斜率為1的直線交圓N于Q，R兩點，試探究在橢圓M上是否存在點P，使得以PQ為直徑的圓過點N？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=$\sqrt{2}$，由橢圓與圓N的方程為（x-3）²+y²=1．圓心為（3，0），半徑為1，a=2，b²=a²-c²=2，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由在圓N中弦AB的中點為C，BC⊥OC，因此C的軌跡為一圓心為（$\frac{3}{2}$，0），半徑為$\frac{3}{2}$的圓，聯(lián)立方程，即可求得交點坐標(biāo)，求得x的取值范圍，求得點C的軌跡為（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，（$\frac{8}{3}$＜x＜3）；
（3）假設(shè)存在P，使得以PQ為直徑的圓過點N，則PN⊥QN，設(shè)直線y=-x+3，聯(lián)立方程，由△＜0，方程無解，故橢圓M上是不存在點P，使得以PQ為直徑的圓過點N．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
c=$\sqrt{2}$，
由橢圓與圓N的方程為（x-3）²+y²=1．圓心為（3，0），半徑為1，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由在圓N中弦AB的中點為C，
∴BC⊥OC，
點C的軌跡是以O(shè)N為直徑的圓，圓心為（$\frac{3}{2}$，0），半徑為$\frac{3}{2}$，
∴點C的軌跡為方程（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{9}{4}}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：x=$\frac{8}{3}$，
由$\frac{8}{3}$＜x＜3，
∴點C的軌跡為（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，（$\frac{8}{3}$＜x＜3）；
（3）由題意可知：假設(shè)存在P，使得以PQ為直徑的圓過點N，則PN⊥QN，
∵直線斜率為1，點N（3，0），
∴PN的直線方程為y=-1-（x-3），即y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，消去y得：3x²-12x+14=0，
由△=（-12）²-4×3×14-24＜0，
∴方程無解，
∴P點不存在，
∴橢圓M上是不存在點P，使得以PQ為直徑的圓過點N．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查圓的性質(zhì)，考查點的軌跡方程的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．