Question

設n∈N^*，則6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余數是（　　）

• A、-2
• B、2
• C、0
• D、0或6

Answer 1

分析：由組合數的性質知6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ=（6+1）ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1，按照二項式定理展開，對n是奇數還是偶數分類討論，即可求出結果．

解答：解：∵（6+1）ⁿ=1+6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ，則6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1，
按照二項式定理展開可得，
（8-1）ⁿ=

C

0 n

8n(-1)0

+C

1 n

8n-1(-1)1+…+

C

n n

80(-1)n，
∵前n項中均有8的倍數，故均能被8整除，
∴最后一項為

C

n n

80(-1)n=（-1）ⁿ，
∴（8-1）ⁿ-1的最后兩項為（-1）ⁿ-1，
當n為奇數時，最后兩項為-1-1=-2除以8的余數為6，
當n為偶數時，最后兩項為1-1=0除以8的余數為0，
∴6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ除以8的余數是0或6．
故選：D．

點評：本題考查二項式定理的應用，關鍵是根據二項式定理，靈活將6C_n¹+6²C_n²+…+6ⁿC_nⁿ變形，對于選擇題，有時候取特殊值是簡便易行的方法．考查了學生對二項式定理的靈活應用和二項式定理的應用：整除問題，考查利用所學知識分析問題、解決問題的能力．主要檢測學生的應變能力和對定理掌握的熟練程度．屬于中檔題．