Question

某人玩硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現正、反面的概率都是

1

2

．棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站；若擲出反面，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗大本營）時，該游戲結束．設棋子跳到第n站的概率為P_n．
（Ⅰ）求：P₀，P_l，P₂；
（Ⅱ）求證：Pn-Pn-1=-

1

2

(Pn-1-Pn-2)；（n≤99，n∈N）
（Ⅲ）求：玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

分析：（I）棋子在0站是一個必然事件，得到發生的概率等于1，擲出朝上的點數為1或2，棋子向前跳一站；若擲出其余點數，則棋子向前跳兩站，根據正方體各個面出現的概率得到結果．
（II）由題意知連續三項之間的關系，根據得到的關系式，仿寫一個關系式，兩個式子相減，構造一個新數列是連續兩項之比是一個常數，得到等比數列．
（III）寫出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中間項得到首項和末項之間的關系，得到玩該游戲獲勝的概率．

解答：解：（Ⅰ）依題意，得  P₀=1，P1=

1

2

，P2=

1

2

+

1

2

×

1

2

=

3

4

（Ⅱ） 依題意，棋子跳到第n站（2≤n≤99）有兩種可能：
第一種，棋子先到第n-2站，又擲出反面，其概率為

1

2

Pn-2；
第二種，棋子先到第n-1站，又擲出正面，其概率為

1

2

Pn-1；
∴Pn=

1

2

P

n-1

+

1

2

P

n-2

∴Pn-Pn-1=

1

2

Pn-1+

1

2

Pn-2-Pn-1=-

1

2

Pn-1+

1

2

Pn-2
即Pn-Pn-1=-(

1

2

Pn-1-

1

2

Pn-2)(2≤n≤99)
（Ⅲ） 由（II）可知，數列{P_n-P_n-1}（1≤n≤99）是首項為P1-P0=-

1

2

，
公比為

1

2

的等比數列，
于是，有P₉₉=P₀+（P₁-P₀）+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P₉₉-P₉₈）=1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2+(-

1

2

)3+…+(-

1

2

)99=

2

3

[1-(

1

2

)100]
因此，玩該游戲獲勝的概率為

2

3

[1-(

1

2

)100]．

點評：本題考查概率的實際應用，是一個中檔題目，題目涉及到概率的計算，本題解題的關鍵是看出題目中要利用累加的方法．