Question

13、設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1-1=ca_n-c，n∈N^*，其中a、c為實數，且c≠0則a_n=

a_n=（ a-1）c^n-1+1 （n∈N^*）

．

Answer 1

分析：先把數列的遞推式整理成$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}+1}$的形式，利用等比數列的定義判斷出{a_n-1}是首項為a-1，公比為c的等比數列，進而根據等比數列的性質求得通項公式，進而求得a_n．

解答：解：因為a_n+1-1=c（a_n-1）
所以當a≠1時，{a_n-1}是首項為a-1，公比為c的等比數列
所以a_n-1=（ a_n-1）c^n-1
即a_n=（ a_n-1）c^n-1+1
當n=1時，a_n=1仍滿足上式
數列{a_n}的通項公式為a_n=（ a-1）c^n-1+1 （n∈N^*）
故答案為：a_n=（ a-1）c^n-1+1 （n∈N^*）

點評：本題主要考查了數列的遞推式．對于a_n+1=pa_n+q的遞推式求通項公式一般是待定系數法，把原遞推公式轉化為a_n+1-t=p（a_n-t），其中，再利用換元法轉化為等比數列求解，或轉化為二隊循環數列來解或直接用逐項迭代法求解．