Question

15．如圖，扇形的半徑為1，圓心角∠BAC=150°，點P在弧BC上運動，$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，則$\sqrt{3}m-n$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 建立坐標系，求出向量坐標，設P（cosθ，sinθ），根據向量坐標的運算得到m=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，n=2sinθ，則$\sqrt{3}m-n$=2sin（θ+60°），根據三角函數的性質即可求出最值．

解答 解：以AB為x軸，以A為原點，建立坐標系，
如圖：P（cosθ，sinθ），0°≤θ≤150°，
則A（0，0），B（1，0），C（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∵$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，
∴（cosθ，sinθ）=m（1，0）+n（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）
=（m-$\frac{\sqrt{3}}{2}$n，$\frac{n}{2}$），
∴cosθ=m-$\frac{\sqrt{3}}{2}$n，sinθ=$\frac{n}{2}$，
∴m=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，n=2sinθ，
∴$\sqrt{3}m-n$=$\sqrt{3}$cosθ+3sinθ-2sinθ=$\sqrt{3}$cosθ+sinθ
=2sin（θ+60°），
∵0°≤θ≤150°，
∴60°≤θ+60°≤210°，
∴當θ=30°時，$\sqrt{3}m-n$的最大值為2，
故選：C．

點評 本題考查了向量的坐標運算和三角函數的性質，屬于中檔題．