【題目】如圖，已知四棱錐
中，底面
為菱形，
平面，
，
分別是
，
的中點.
（1）證明：
；
（2）取
，若
為
上的動點，
與面
所成最大角的正弦值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）由已知條件推導出
為正三角形，從而得到
，
，再由
平面
，得到
，由此能證明
平面
,從而得到結論.
（2）
為
上任意一點，連接
，
，則
為與平面所成的角，當最短時，即當
時，最大，由此能求出二面角
的余弦值.
（1）證明：∵四邊形為菱形，
，
∴為正三角形，
∵
為
的中點，∴
又∵
，∴，
∵平面，
平面，
∴
而
平面，
平面，
，
∴平面，又
平面，
所以
.
（2）解：設
，為上任意一點，連接，，如圖
由（1）知平面，
所以為與平面所成的角，
在
中，
，
所以當最短時，最大，即當時，最大，
因為
，
此時
，
因此
，又
，
所以
，所以
，
因為平面，平面
，
所以平面
平面，
過作
于
，
則
平面，
過作
于
，連接
，
則
為二面角的平面角，如圖
在
中，
，
，
又
是
的中點，在
中，
，
又
，
，
在
中，
，
即所求二面角的余弦值為.
補充習題江蘇系列答案
學練快車道口算心算速算天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學在生物研究性學習中，對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發芽多少之間的關系進行研究，于是他在4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發芽數，得到如下資料：
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發芽數y/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
（1）從這5天中任選2天，求這2天發芽的種子數均不小于25的概率；
（2）從這5天中任選2天，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數據，請根據這5天中的另三天的數據，求出y關于x的線性回歸方程
；
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為
萬元，每生產
千件需另投入
萬元．設該公司一年內共生產該品牌服裝
千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為
萬元，且
.
（1）寫出年利潤
（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在創國家級衛生縣城的評估標準中，有一項是市民對該項政策的知曉率，專家在對某縣進行評估時，從該縣的鄉鎮中隨機抽取市民進行調查.知曉率達90%以上記為合格，否則記為不合格.已知該縣的10個鄉鎮中，有7個鄉鎮市民的知曉率可達90%以上，其余的均在90%以下.
（1）現從這10個鄉鎮中隨機抽取3個進行調查，求抽到的鄉鎮中恰有2個鄉鎮不合格的概率；
（2）若記從該縣隨機抽取的3個鄉鎮中不合格的鄉鎮的個數為
，求的分布列和數學期望.
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