Question

14．設(shè)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=8．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線解析式確定出焦點(diǎn)F坐標(biāo)，根據(jù)直線AB傾斜角表示出直線AB方程，與拋物線解析式聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)關(guān)系及兩點(diǎn)間的距離公式求出AB長即可．

解答 解：由題意得：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F為（1，0），
∵直線AB傾斜角為45°，
∴直線AB的斜率為1，即方程為y=x-1，
聯(lián)立拋物線方程，消去y得：（x-1）²=4x，即x²-6x+1=0，
設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
則|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{36-4}$=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評 此題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，根與系數(shù)關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，以及直線的點(diǎn)斜式方程，熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．