Question

10．在平面直角坐標系xoy中，已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，且過點P作直線l的垂線，垂足為Q，滿足：$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在軌跡C上求一點M，使得M到直線y=x-3的距離最短，并求出最短距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設P（x，y），則Q（x，-1），F（0，1），由$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．根據向量數量積的坐標運算，即可求得動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）法一：設$M（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，利用點到直線的距離公式$d=\frac{{|{{x_0}-\frac{x_0^2}{4}-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{（{{x_0}-2}）}^2}+8}}{{4\sqrt{2}}}$，由二次函數的性質可知：${x_0}=2時，{d_{min}}=\sqrt{2}$，求得M（2，1）；
法二：當與直線y=x-3平行，且與曲線相切時的切點與與直線y=x-3的距離最短將直線方程代入拋物線方程，則△=0，即可求得m和x值，即可取得M到直線y=x-3的距離最短；
當與直線y=x-3平行，且與曲線相切時的切點與與直線y=x-3的距離最短．設切點為$M（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，求導，求得切線斜率為$\frac{x_0}{2}=1$，即可求得，M點坐標，根據點到直線的距離公式即可求得，M到直線y=x-3的距離最短．

解答 解：（Ⅰ）設P（x，y），則Q（x，-1），F（0，1），
∴$\overrightarrow{QP}=（{0，y+1}），\overrightarrow{QF}=（{-x，2}）$，$\overrightarrow{FP}=（{x，y-1}），\overrightarrow{FQ}=（{x，-2}）$，…（4分）
$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
∴2（y+1）=x²-2（y-1），化簡得：x²=4y，
所求軌跡為：x²=4y…（6分）
（Ⅱ）法一：設$M（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，則M到直線y=x-3的距離為$d=\frac{{|{{x_0}-\frac{x_0^2}{4}-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{（{{x_0}-2}）}^2}+8}}{{4\sqrt{2}}}$，
∴${x_0}=2時，{d_{min}}=\sqrt{2}$，
此時M（2，1）為所求．…（12分）
法二：當與直線y=x-3平行，且與曲線相切時的切點與與直線y=x-3的距離最短．
設該直線方程為y=x+m，…（7分）
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}=4y\end{array}\right.⇒{x^2}-4x-4m=0，△=16+16m=0$，
解得：m=-1，x=2，
∴M（2，1）到直線y=x-3的距離最短，最短距離為$\sqrt{2}$．…（12分）
法三：當與直線y=x-3平行，且與曲線相切時的切點與與直線y=x-3的距離最短．
設切點為$M（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$，
軌跡方程可化為：$y=\frac{x^2}{4}，y'=\frac{x}{2}$，切線斜率為$\frac{x_0}{2}=1$，
∴x₀=2，
則M到直線y=x-3的距離為$d=\frac{{|{{x_0}-\frac{x_0^2}{4}-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{（{{x_0}-2}）}^2}+8}}{{4\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$，
則M到直線y=x-3的距離的最小值為$\sqrt{2}$，此時M（2，1）．

點評 本題考查拋物線的軌跡方程，直線與拋物線的位置關系，考查點到直線距離公式的應用，導數的幾何性質，考查計算能力，屬于中檔題．