Question

記滿足如下三個性質的函數稱為l型函數：
①對任意a，b屬于R，都有g（a+b）=g（a）g（b）；
②對任意x屬于R，g（x）＞0；
③對任意x＞0，g（x）＞1．
已知函數y=g（x）為l型函數．
（1）求 g（x）•g（-x）的值；
（2）證明當x＜0時，g（x）＜1，且函數y=g（x）在R上單調遞增．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：函數思想,方程思想

分析：（1）a=b=0，求解即可，注意舍去g（0）=0，
（2）當a=x，b=-x時，g（0）=g（x-x）=g（x）g（-x）=1，轉化g（x）•g（-x）=1，g（x）=

1

g(-x)

求解．
（3）運用當x＜0時，即-x＞0時，g（-x）＞1，

1

g(x)

＞1，得出當x＜0時，0＜g（x）＜1，
構造（x₁）=g（x₁-x₂+x₂）=g（x₁-x₂）g（x₂）＞g（x₂），證明單調性即可．

解答： 解：（1）∵對任意a，b屬于R，都有g（a+b）=g（a）g（b）；
∴g（0）=g²（0），
g（0）=0，g（0）=1，
∵對任意x屬于R，g（x）＞0；
∴g（0）=1，
當a=x，b=-x時，g（0）=g（x-x）=g（x）g（-x）=1，
g（x）•g（-x）=1，
（2）當x＜0時，-x＞0，
∵對任意x＞0，g（x）＞1．
∴當x＜0時，即-x＞0時，g（-x）＞1，

1

g(x)

＞1，
∵對任意x屬于R，g（x）＞0；
∴當x＜0時，0＜g（x）＜1，
∵設x₁＞x₂，x₁-x₂＞0，g（x₁-x₂）＞1
∴g（x₁）=g（x₁-x₂+x₂）=g（x₁-x₂）g（x₂）＞g（x₂），
∴g（x₁＞g（x₂），
即函數y=g（x）在R上單調遞增．

點評：本題考查了抽象函數的單調性，求解有關變量的取值問題，賦值思想的運用，屬于中檔題，注意構造變量運用條件．