Question

設數列{a_n}為等差數列，且a₃=5，a₅=9；數列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2[1-（

1

2

）ⁿ]．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=

an

bn

（n∈N₊），T_n為數列{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由題意求出等差數列的公差、首項，代入等差數列的通項公式求a_n，由題意和數列前n項和與通項公式的關系式求出b_n；
（Ⅱ）先利用條件求出c_n，利用錯位相減法求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）因為數列{a_n}為等差數列，且a₃=5，a₅=9，
所以公差d=

1

2

(a5-a3)=2，
因為a₃=5，所以a₁=1．故a_n=2n-1，…（3分）
因為數列{b_n}的前n項和S_n=2[1-（

1

2

）ⁿ]．
所以當n=1時，S₁=b₁=1，
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=2[1-(

1

2

)n]-2[1-(

1

2

)n-1]=(

1

2

)n-1，
經驗證當n=1時也適合上式，則bn=(

1

2

)n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=

an

bn

=(2n-1)•2n-1，
則Tn=1•20+3•21+5•22+…+(2n-3)•2n-2+(2n-1)n-1，
2Tn=1•2+3•21+…+(2n-3)•2n-1=(2n-1)•2n…（9分）
兩式相減可得：
-Tn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-(2n-1)•2n
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n，
=-3+（3-2n）•2ⁿ…（11分）
所以Tn=3+(2n-3)•2n．…（12分）

點評：本題考查等差數列的通項公式，數列前n項和與通項公式的關系式，以及數列的求和方法：錯位相減法，一般應先求數列的通項公式，再根據其特點選擇求和方法，考查化簡能力．