Question

18．已知向量$\overrightarrow a=（{1，sinx}）$，$\overrightarrow b=（{cos（{2x+\frac{π}{3}}），sinx}）$，函數f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$cos2x．
（1）求函數f（x）的解析式及其單調遞增區間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c=$\sqrt{3}$且f（C）=0，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積運算和三角恒等變換求出f（x）的解析式，再利用正弦函數的單調性求出f（x）的單調遞增區間；
（2）由f（C）=0求出角C，再由正弦定理表示出a、b，利用三角恒等變換和三角函數的有界性求出△ABC周長的取值范圍．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a=（{1，sinx}）$，$\overrightarrow b=（{cos（{2x+\frac{π}{3}}），sinx}）$，
函數f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$cos2x
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x-$\frac{1}{2}$cos2x
=cos2xcos$\frac{π}{3}$-sin2xsin$\frac{π}{3}$+$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{7π}{6}$）+$\frac{1}{2}$；
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{7π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$kπ-\frac{5π}{6}≤2x+\frac{7π}{6}≤kπ-\frac{π}{3}$，k∈Z；
所以函數f（x）的單調遞增區間為$[{kπ-\frac{5π}{6}，kπ-\frac{π}{3}}]$，k∈Z；
（2）由（1）$f（C）=sin（{2C+\frac{7π}{6}}）+\frac{1}{2}=0$，
又C為△ABC的內角，所以$2C+\frac{7π}{6}=\frac{11π}{6}$，
解得$C=\frac{π}{3}$；
又c=2，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
所以a=2sinA，b=2sinB，
所以$a+b=2sinA+2sinB=2[{sinA+sin（{\frac{2π}{3}-A}）}]=2（{\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA}）=2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）$；
由$C=\frac{π}{3}$，且$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以$\frac{1}{2}＜sin（{A+\frac{π}{6}}）≤1$，
所以$\sqrt{3}＜2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）≤2\sqrt{3}$，
所以△ABC的周長的取值范圍是$（{2\sqrt{3}，3\sqrt{3}}]$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算和三角恒等變換以及三角函數的圖象與性質的應用問題，是綜合性題目．