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9.已知函數f(x)=ex+a-lnx.
(1)若函數f(x)在x=1處取得極值,求實數a的值;
(2)當a≥-2時,證明:f(x)>0.

分析 (1)求出函數的導數,計算f′(1)=0,求出a的值即可;(2)問題轉化為證明ex-2-lnx>0,令g(x)=ex-2-lnx(x>0),根據函數的單調性證明即可.

解答 解:(1)函數f(x)=ex+a-lnx定義域為(0,+∞),
$f'(x)={{e}^{x+a}}-\frac{1}{x}$,
由已知得f′(1)=0,即:ea+1-1=0,所以a=-1;                                   
  (2)由于a≥-2,所以ex+a≥ex-2,
所以只需證明ex-2-lnx>0,
令g(x)=ex-2-lnx(x>0),則g′(x)=ex-2-$\frac{1}{x}$,
所以g′(x)在(0,+∞)上為增函數,
而g′(1)=e-1-1<0,g′(2)=1-$\frac{1}{2}$>0,
所以g′(x)在(0,+∞)上有唯一零點x0
且x0∈(1,2),
當x∈(0,x0)時,g′(x)<0,當x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0,
所以g(x)的最小值為g(x0),
由g′(x0)=${e}^{{x}_{0}-2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=0,
得:${e}^{{x}_{0}-2}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$,lnx0=2-x0,
所以g(x0)=${e}^{{x}_{0}-2}$-lnx0=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x0-2≥0,
而x0∈(1,2),所以g(x0)>0,所以g(x)>g(x0)>0,
即:ex-2-lnx>0,所以,當a≥-2時,f(x)>0.

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題,考查導數的應用,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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