Question

14．定義在R上的函數f（x）滿足f（x+1）=2f（x）．若當0≤x≤1時，f（x）=x（1-x），求當-1≤x≤1時，f（x）的解析式，并指出在[-1，1]上的單調性．

Answer 1

分析 由條件可設-1≤x≤0時，0≤x+1≤1，由已知解析式，即可得到所求f（x）的解析式，由二次函數的單調性，即可得到所求單調性．

解答 解：當0≤x≤1時，f（x）=x（1-x），
當-1≤x≤0時，0≤x+1≤1，
故f（x+1）=（x+1）（1-x-1）=-x（x+1），
又f（x+1）=2f（x），
所以$f（x）=-\frac{x（x+1）}{2}$．
則$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（1-x），0≤x≤1\\-\frac{x（x+1）}{2}，-1≤x＜0\end{array}\right.$，
可得f（x）在[-1，-$\frac{1}{2}$]單調遞增，[-$\frac{1}{2}$，0]單調遞減，
在[0，$\frac{1}{2}$]單調遞增，在[$\frac{1}{2}$，1]單調遞減．

點評 本題考查函數的解析式的求法，注意運用轉化思想，以及二次函數的單調性，考查化簡整理的變形能力，屬于中檔題．