Question

【題目】已知函數，，.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若在區間上存在不相等的實數，使得成立，求的取值范圍；

（3）設的圖象為，的圖象為，若直線與分別交于，問是否存在整數，使在處的切線與在處的切線互相平行，若存在，求出的所有值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，無極小值；（2）；（3）.

【解析】

（1）對函數進行求導，并求出方程的根為，判斷為函數的極大值點，再代入求極大值；

（2）問題轉化成函數在區間存在極值點；

（3）根據兩條切線互相平行，得到斜率相等，從而構造出的方程，再從方程中把分離出來，構造關于的函數，研究函數的值域，得到的取值范圍后，再根據為整數，求得的值.

（1）當時，，，

當時，得，當時，得，

所以在單調遞增，在單調遞減，

所以，無極小值.

（2）令，則

，

由題意知在區間存在極值點，所以在有解，

所以在有解，

令，則，

當時，恒成立，所以在單調遞增，且，

所以.

（3），則，

，則，

設，，

在點處的切線的斜率，在點處的切線的斜率，

假設存在兩切線平行，所以，即在有解，

所以在有解，令，則，，

當時，得；當時，得，

所以在單調遞增，在單調遞減，

所以，

所以在恒成立，所以在單調遞減，

所以，則，又為整數，

所以或.