Question

15．已知拋物線x²=2py（p＞0）與直線2x-y+1=0交于A，B兩點，$|AB|=2\sqrt{30}$，點M在拋物線上，MA⊥MB．
（1）求p的值；
（2）求點M的橫坐標．

Answer 1

分析 （1）聯立直線方程與拋物線方程，化為關于x的一元二次方程，由根與系數的關系得到A，B兩點橫坐標的和與積，由弦長公式求得p的值；
（2）由（1）求出A，B的坐標，設出M的坐標，利用MA⊥MB得，代入根與系數的關系求得答案．

解答 解：（1）將y=2x+1代入x²=2py，得x²-4px-2p=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4p，x₁x₂=-2p，
由$|AB|=2\sqrt{30}$及p＞0，得p=1．
（2）由（1）得設點$M（{x_0}，\frac{{{x_0}^2}}{2}）$，$A（{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{2}）$，$B（{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{2}）$，
由MA⊥MB得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
即$\overrightarrow{MA}=（{x_1}-{x_0}，\frac{{{x_1}^2-{x_0}^2}}{2}）$，$\overrightarrow{MB}=（{x_2}-{x_0}，\frac{{{x_2}^2-{x_0}^2}}{2}）$，
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x_1}-{x_0}）（{x_2}-{x_0}）+（\frac{{{x_1}^2-{x_0}^2}}{2}）（\frac{{{x_2}^2-{x_0}^2}}{2}）=0$，
∴（x₁+x₀）（x₂+x₀）+4=0，
∴${x_0}=-2±\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，是中檔題．