Question

2．定義：函數f（x）在閉區間[a，b]上的最大值與最小值之差為函數f（x）的極差，若定義在區間[-2b，3b-1]上的函數f（x）=x³-ax²-（b+2）x是奇函數，則a+b=1，函數f（x）的極差為4．

Answer 1

分析 由定義在區間[-2b，3b-1]上的函數f（x）=x³-ax²-（b+2）x是奇函數，列出方程組，能求出a=0，b=1，從而a+b=1，f（x）=x³-3x，由此利用導數的性質能求出函數f（x）的極差．

解答 解：∵定義在區間[-2b，3b-1]上的函數f（x）=x³-ax²-（b+2）x是奇函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2b+3b-1=0}\\{-a=0}\end{array}\right.$，解得a=0，b=1，∴a+b=1，
∴f（x）=x³-3x，區間[-2b，3b-1]即為[-2，2]．
f′（x）=3x²-3，由f′（x）=0，得x=±1，
∵f（-2）=（-2）³-3×（-2）=-2，
f（-1）=（-1）³-3×（-1）=2，
f（1）=1³-3×1=-2，
f（2）=2³-3×2=2，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
∴函數f（x）的極差為：2-（-2）=4．
故答案為：1，4．

點評 本題考查函數性質、函數極差、導數、函數最大值及最小值等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查數形結合思想，是中檔題．