Question

14．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且$\frac{sinα}{α}$＜$\frac{sinβ}{β}$，則下列結論正確的是（　　）

• A． α＜β
• B． α+β＞$\frac{π}{2}$
• C． α＞β
• D． α+β＜$\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由$\frac{sinα}{α}$＜$\frac{sinβ}{β}$，可得$\frac{αsinα}{{α}^{2}}＜\frac{βsinβ}{{β}^{2}}$，利用假設法，證明即可．設αsinα＞βsinβ，則α＞β，α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），可得$\frac{1}{{α}^{2}}＜\frac{1}{{β}^{2}}$，可得$\frac{αsinα}{{α}^{2}}＜\frac{βsinβ}{{β}^{2}}$成立．可得結論．

解答 解：由$\frac{sinα}{α}$＜$\frac{sinβ}{β}$，可得$\frac{αsinα}{{α}^{2}}＜\frac{βsinβ}{{β}^{2}}$，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），設αsinα＞βsinβ＞0，則α＞β，
∴$\frac{1}{{α}^{2}}＜\frac{1}{{β}^{2}}$，
∴$\frac{αsinα}{{α}^{2}}＜\frac{βsinβ}{{β}^{2}}$成立．
故得α＞β，
故選C．

點評 本題考查了正弦余弦函數的性質的變形運用能力和化簡計算能力．