Question

已知函數f（x）=e^x（x≤1），若f（x）的圖象的一條切線與直線x=1及x軸所圍成的三角形面積為S，則S的最大值等于（　　）

• A、2
• B、1
• C、e
• D、

  e

  2

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：設出切點坐標，求導后得到切線的斜率，由點斜式得到切線方程，求出切線與直線x=1的交點及與x軸的交點坐標，代入三角形面積公式后再由導數求得最大值．

解答：解：設f（x）=e^x（x≤1）的圖象上任意一點為（x0，ex0），
∵f′(x0)=ex0，
∴過切點（x0，ex0）的切線方程為y-ex0=ex0(x-x0)．
聯立

x=1 y-ex0=ex0(x-x0)

，得y=(2-x0)•ex0．
取y=0，得x=x₀-1．
∴f（x）的圖象的一條切線與直線x=1及x軸所圍成的三角形面積為：
S=

1

2

(1-x0+1)(2-x0)•ex0=

1

2

(2-x0)2•ex0 （x₀≤1）．
而S′=

1

2

[-2(2-x0)ex0+(2-x0)2ex0]=

1

2

ex0x0(x0-2)．
當x₀∈（-∞，0）時，S′＞0；
當x₀∈（0，1）時，S′＜0．
∴當x₀=0時，S_max=2．
故選：A．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，是中檔題．