Question

10．已知函數f（x）=2+$\frac{1}{x-a}$的圖象經過點（2，3），a為常數．
（1）求a的值和函數f（x）的定義域；
（2）用函數單調性定義證明f（x）在（a，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析 （1）把點（2，3）代入函數解析式求出a的值；根據f（x）的解析式，求出它的定義域；
（2）用單調性定義證明f（x）在（1，+∞）上是減函數即可．

解答 解：（1）函數f（x）=2+$\frac{1}{x-a}$的圖象經過點（2，3），
∴2+$\frac{1}{2-a}$=3，解得a=1；
∴f（x）=2+$\frac{1}{x-1}$，且x-1≠0，則x≠1，
∴函數f（x）的定義域為{x|x≠1}；
（2）用函數單調性定義證明f（x）在（1，+∞）上是減函數如下；
設1＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（2+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$）-（2+$\frac{1}{{x}_{2}-1}$）=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數．

點評 本題考查了函數的單調性定義與證明問題，是基礎題．