Question

2．用數學歸納法證明：（3n+1）•7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除．

Answer 1

分析 先驗證n=1成立，再假設n=k成立，推導n=k+1成立即可．

解答 證明：（1）當n=1時，（3+1）•7¹-1=27=3×9，顯然能被9整除，
（2）假設n=k時，：（3k+1）•7^k-1能被9整除，
那么n=k+1時，
則[3（k+1）+1]7^k+1-1=（3k+1）7^k+1+3•7^k+1-1
=7（3k+1）7^k+3•7^k+1-1
=（3k+1）7^k-1+6（3k+1）7^k+3•7^k+1，
=[（3k+1）7^k-1]+（18k+27）7^k，k∈N
由（3k+1）7^k-1能被9整除，
（18k+27）7^k能被9整除，
∴n=k+1時，（3n+1）•7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除．
∴（3n+1）•7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除．

點評 本題考查了數學歸納法證明，掌握數學歸納法的證明步驟是重點，由n=k到n=k+1的轉化是證明關鍵．