Question

5．已知函數$f（x）=\frac{{{2^{x+1}}}}{{{2^x}+1}}$．
（1）求證：函數f（x）在實數集R上為增函數；
（2）設g（x）=log₂f（x），若關于x的方程g（x）=a有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先化簡解析式，再利用函數單調性的定義：取值、作差、變形、定號、下結論，證明函數的單調性；
（2）將方程有解轉化為求出函數y=g（x）的值域，由指數函數的性質求出f（x）的范圍，由對數函數的性質求出g（x）的值域，即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）證明：由題意知，$f（x）=\frac{{{2^{x+1}}}}{{{2^x}+1}}=2-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
設x₁，x₂是R上的任意兩個數，且x₁＜x₂，
則$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（2-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}）-（2-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}）$
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}=\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{2}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$，…（5分）
因為x₁＜x₂，所以$\frac{{2（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）}}{{（{{2^{x_2}}+1}）（{{2^{x_1}}+1}）}}＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上為增函數，…（8分）
（2）因為關于x的方程g（x）=a有解，
所以實數a的取值范圍為函數y=g（x）的值域；…（10分）
因為$f（x）=\frac{{{2^{x+1}}}}{{{2^x}+1}}=2-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
因為2^x+1＞1，所以$0＜\frac{2}{{{2^x}+1}}＜2$，
即0＜f（x）＜2…（12分）
所以g（x）=log₂f（x）值域為（-∞，1），
即實數a的取值范圍為（-∞，1）．…（14分）

點評 本題考查了利用函數單調性的定義：取值、作差、變形、定號、下結論，證明函數的單調性，以及指數、對數函數的單調性，方程有解轉化為函數的值域問題，考查轉化思想，化簡、變形能力．