Question

【題目】已知為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，并在軸上方交雙曲線于點，且.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過圓上任意一點作切線交雙曲線于兩個不同點，中點為，若，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在直角三角形，根據可得通徑的一半與焦距的關系，從該關系式中可求離心率.

（2）設的方程為，聯立直線方程和雙曲線方程，消去后利用韋達定理可用表示及 ，再利用與圓相切可得，利用該式化簡可得的值為.

（1）根據已知條件得，

∴焦點坐標為，軸，.

在直角三角形中，，

解得，于是所求雙曲線方程為.

（2）①當直線的斜率不存在時，則，于是，

此時，.

②當直線的斜率存在時，設的方程為，切線與的交點坐標為，

于是有，消去得.

故.

∵為的中點，即坐標為.

則，

，

又點到直線的距離為即.

代入得：，，故.