Question

【題目】設函數=[]．

（Ⅰ）若曲線y= f（x）在點（1，）處的切線與軸平行，求a；

（Ⅱ）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) a的值為1

(2) a的取值范圍是（，+∞）

【解析】分析：（1）先求導數，再根據得a；（2）先求導數的零點：，2；再分類討論，根據是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．

詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，

所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）

=［ax2–（2a+1）x+2］ex．

f ′(1)=(1–a)e．

由題設知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．

此時f (1)=3e≠0．

所以a的值為1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．

若a>，則當x∈(，2)時，f ′(x)<0；

當x∈(2，+∞)時，f ′(x)>0．

所以f (x)<0在x=2處取得極小值．

若a≤，則當x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，

所以f ′(x)>0．

所以2不是f (x)的極小值點．

綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．