Question

已知α，β都是銳角，且sin（α+β）=2sinα，求證：α＜β．（用反證法證明）

Answer 1

考點：反證法與放縮法

專題：證明題,反證法

分析：假設α≥β，利用α，β都是銳角，可得sinα≥sinβ；根據sin（α+β）=2sinα，證明sinβ＞sinα，從而可得結論．

解答： 證明：假設α≥β，則
∵α，β都是銳角，∴sinα≥sinβ
∵sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα=2sinα，cosβ＜1，
∴sinαcosβ＜sinα
又∵sinαcosβ+sinβcosα=2sinα，∴sinβcosα＞sinα
∵cosα＜1，∴sinβ＞sinα，矛盾
故α＜β．

點評：本題的考點是反證法，主要考查反證法的運用，解題的關鍵是利用反證法的證題步驟：反設，歸謬，引出矛盾，從而下結論．