Question

3．設函數f（x）=e^ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜$\frac{1}{e}$，e是自然對數的底數
（Ⅰ）求證：函數f（x）有兩個極值點；
（Ⅱ）若-e≤a＜0，求證：函數f（x）有唯一零點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而判斷函數的極值點的個數；
（Ⅱ）根據函數的單調性，令x₂∈（-$\frac{1}{a}$，+∞），故f（x₂）=（1-ax₂lnx₂）${e}^{{ax}_{2}}$，令h（x）=1-axlnx，x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞），根據函數的單調性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ae^ax+$\frac{λ}{x}$=$\frac{a{xe}^{ax}+λ}{x}$，（x＞0），
令g（x）=axe^ax+λ，其中a＜0，x＞0，
求導得：g′（x）=ae^ax（1+ax），
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{a}$，
x∈（0，-$\frac{1}{a}$）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
x=-$\frac{1}{a}$時，g（x）取得極小值，也是最小值g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$，
∵0＜λ＜$\frac{1}{e}$，∴g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$＜0，又g（0）=λ＞0，
∴g（-$\frac{1}{a}$）g（0）＜0，
∴函數f（x）有兩個極值點；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
不妨令x₂∈（-$\frac{1}{a}$，+∞），
故ax₂${e}^{{ax}_{2}}$+λ=0，
故f（x₂）=（1-ax₂lnx₂）${e}^{{ax}_{2}}$，
令h（x）=1-axlnx，x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞），
h′（x）=-a（lnx+1）＞-a（ln$\frac{1}{e}$+1）=0，
∴f（x₂）＞0，∵f（0）→負數，
∴函數f（x）有唯一零點．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道綜合題．