Question

15．求函數y=lg（sin²x+2cosx+2）在$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}}]$上的最大值lg4，最小值lg$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根據同角的三角函數的關系式，結合一元二次函數的性質求出t=sin²x+2cosx+2的取值范圍，結合對數單調性的性質進行求解即可．

解答 解：sin²x+2cosx+2=1-cos²x+2cosx+2=-（cosx-1）²+4，
∵$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}}]$，∴cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
則當cosx=1時，sin²x+2cosx+2取得最大值4，
當cosx=-$\frac{1}{2}$時，sin²x+2cosx+2取得最小值$\frac{7}{4}$，即當$x∈[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}}]$時，函數有意義，
設t=sin²x+2cosx+2，則$\frac{7}{4}$≤t≤4，
則lg$\frac{7}{4}$≤lgt≤lg4，
即函數的最大值為lg4，最小值為lg$\frac{7}{4}$，
故答案為：lg4，lg$\frac{7}{4}$

點評 本題主要考查函數最值的求解，根據復合函數單調性的關系結合一元二次函數和對數函數的單調性的性質是解決本題的關鍵．