Question

18．某工廠生產甲、乙兩種產品所得利潤分別為P和Q（萬元），它們與投入資金m（萬元）的關系有經驗公式P=$\frac{1}{3}$m+65，Q=76+4$\sqrt{m}$，今將150萬元資金投入生產甲、乙兩種產品，并要求對甲、乙兩種產品的投資金額不低于25萬元．
（1）設對乙產品投入資金x萬元，求總利潤y（萬元）關于x的函數關系式及其定義域；
（2）如何分配使用資金，才能使所得總利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （1）根據題意，對乙種商品投資x（萬元），對甲種商品投資（150-x）（萬元），利用經驗公式，可求經營甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關于x的函數表達式；
（2）利用配方法，可求總利潤y的最大值．

解答 解：（1）根據題意，對乙種商品投資x（萬元），對甲種商品投資（150-x）（萬元）（25≤x≤125）．
所以y=$\frac{1}{3}$（150-x）+65+76+4$\sqrt{x}$----------------------（4分）
其定義域為[25，125]-----------------------（6分）
（2）令t=$\sqrt{x}$，
因為x∈[25，125]，
所以t∈[5，5$\sqrt{5}$]，有y=-$\frac{1}{3}（t-6）^{2}$+203------（12分）
所以當t=6時，即x=36時，y_max=203-------------（14分）
答：當甲商品投入114萬元，乙商品投入36萬元時，總利潤最大為203萬元．---------（16分）

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查函數的最值，正確建立函數解析式是關鍵．