Question

對函數f（x），若存在區間M=[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”，給出下列四個函數：
（1）f（x）=e^x，（2）f（x）=x³，（3）f（x）=cos

π

2

x，（4）f（x）=lnx+1，
其中存在“穩定區間”的函數有（　�。�

• A、（1）（2）
• B、（2）（3）
• C、（3）（4）
• D、（1）（4）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,導數的概念及應用

分析：根據“穩定區間”的定義，函數存在“穩定區間”，只要舉出一個符合定義的區間M即可，但要說明函數沒有“穩定區間”，可以用反證明法來說明．由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答： 解：（1）對于函數f（x）=e^x，在區間[a，b]上是增函數，故有

ea=a eb=b

，
即方程e^x=x有兩個解，這與y=e^x和y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故（1）不存在“穩定區間”；
（2）對于f（x）=x³存在“穩定區間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x³∈[0，1]．
故（2）存在“穩定區間”；
（3）對于f（x）=cos

π

2

x，存在“穩定區間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=cos

π

2

x∈[0，1]．
故（3）存在“穩定區間”；
（4）對于 f（x）=lnx+1，若存在“穩定區間”[a，b]，由于函數是定義域內的增函數，
故有

lna+1=a lnb+1=b

，即方程lnx+1=x有兩個解，這與y=lnx+1和y=x的圖象相切相矛盾．
故（4）不存在“穩定區間”．
故選：B．

點評：本題考查的知識點是函數的概念，在說明一個函數沒有“穩定區間”時，利用函數的性質、圖象結合反證法證明是解答本題的關鍵，是中檔題．