Question

下列說法正確的個數是（　　）
①正切函數在定義域上單調遞增；
②函數f（x）在區間（a，b）上滿足f（a）f（b）＜0，則函數f（x）在（a，b）上有零點；
③f(x)=log2(x+

x2+1

)的圖象關于原點對稱；
④若一個函數是周期函數，那么它一定有最小正周期．

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：由正切函數的圖象可知正確函數在整個定義域上不單調，有無數個單調增區間；
若f（a）f（b）＜0，但函數在兩端點處不連續，則不一定在（a，b）上有零點；
由定義判斷出f(x)=log2(x+

x2+1

)是奇函數說明③正確；
舉例說明④錯誤．

解答： 解：①正切函數在定義域上單調遞增，錯誤，正確函數在整個定義域上不單調，有無數個單調增區間；
②函數f（x）在區間（a，b）上滿足f（a）f（b）＜0，則函數f（x）在（a，b）上有零點，錯誤，若函數在兩端點處不連續，則不一定在（a，b）上有零點；
③函數f(x)=log2(x+

x2+1

)的定義域為R，且f(-x)=log2(-x+

(-x)2+1

)=log2(-x+

x2+1

)=log2(x+

x2+1

)-1=-log2(x+

x2+1

)=-f（x），
∴f（x）為奇函數，圖象關于原點對稱，正確；
④若一個函數是周期函數，那么它一定有最小正周期，錯誤，例如常數函數f（x）=1是周期函數，但無最小正周期．
∴正確的命題是③．
故選：B．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數的性質，考查了函數零點的判定方法，是中檔題．