Question

11．函數f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1的最大值為$\frac{1}{2e}+1$．

Answer 1

分析 求出f′（x）=$\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，由此利用導數性質能求出函數f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1的最大值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1，
∴x∈R，f′（x）=$\frac{{e}^{2x}-2x{e}^{2x}}{（{e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，
由f′（x）=0，得1-2x=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＞0；當x∈（$\frac{1}{2}，+∞$）時，f′（x）＜0，
∴x=$\frac{1}{2}$時，函數f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1取最大值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}}{{e}^{2×\frac{1}{2}}}$+1=$\frac{1}{2e}+1$．
故答案為：$\frac{1}{2e}+1$．

點評 本題考查函數的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．