Question

3．已知方程2x²+3x-1=0的一非零實根是x₁，ax²+3x-1=0（a≠0）的一非零實根是x₂．函數f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3在（x₁，x₂）有且僅有一個極值點，則a的取值范圍是[-$\frac{9}{4}$，0）∪（0，1]．

Answer 1

分析 由函數f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3在（x₁，x₂）有且僅有一個極值點，得到f'（x）=x²+3x-1在（x₁，x₂）有且僅有一解，根據零點存在定理即可求出a的范圍．

解答 解：∵2x²+3x-1=0的一非零實根是x₁，ax²+3x-1=0（a≠0）的一非零實根是x₂，
∵f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3，
∴f'（x）=x²+3x-1，
∵函數f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3在（x₁，x₂）有且僅有一個極值點
∴f'（x）=x²+3x-1在（x₁，x₂）有且僅有一解，
∴f′（x₁）•f′（x₂）=（x₁²+3x₁-1）（x₂²+3x₂-1）
=（2x₁²+3x₁-1-x₁²）[ax₂²+3x₂-1-（a-1）x₂²]=-（1-a）x₁²x₂²≤0，
∴1-a≥0，
∴a≤1，
又△=9+4a≥0，
∴$a≥-\frac{9}{4}$，
∴$-\frac{9}{4}≤a≤1$，
∵a≠0，
∴a的取值范圍為[-$\frac{9}{4}$，0）∪（0，1]，
故答案為：[-$\frac{9}{4}$，0）∪（0，1]，

點評 本題考查了導數和函數的極值的關系以及函數零點存在定理，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．