Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點P（1，$\frac{3}{2}$）與橢圓右焦點的連線垂直于x軸，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點（均不在坐標軸上）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設O為坐標原點，若△AOB的面積為$\sqrt{3}$，試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，c=1，則a²=b²+1，將P（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，求得m²＜4k²+3．則丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$，則S_△OAB=$\frac{1}{2}$•|m|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$=$\sqrt{3}$，即可求得4k²-m²=m²-3，k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$=-$\frac{3}{4}$，直線OA與OB的斜率之積為定值-$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）由題意知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，c=1，則a²=b²+1，

由P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，則$\frac{1}{{b}^{2}+1}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=3，則a²=4，
∴橢圓C的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）²+8kmx+4m²-12=0，
由△=（8km）²-16（4k²+3）（m²-3）＞0，得m²＜4k²+3．
∵x₁+x₂=-$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{8km}{4{k}^{2}+3}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}}$=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•|m|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$=$\sqrt{3}$，
化簡得4k²+3-2m²=0，滿足△＞0，
從而有4k²-m²=m²-3，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}+m）（{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-12{k}^{2}+3{m}^{2}}{4{m}^{2}-12}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$，由上式，得$\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$=1，
∴k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$，
∴直線OA與OB的斜率之積為定值-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，三角形面積公式與直線的斜率公式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．