Question

設F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，A是其右支上一點，連接AF₁交雙曲線的左支于點B，若|AB|=|AF₂|，且∠BAF₂=60°，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5 +1

  2

• B、

  3

• C、2

  2

  -1
• D、

  7

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意可得△BAF₂為等邊三角形，設AF₂=t，則AB=BF₂=t，再由雙曲線的定義，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的關系，結合離心率公式即可計算得到．

解答： 解：若|AB|=|AF₂|，且∠BAF₂=60°，
則△BAF₂為等邊三角形，
設AF₂=t，則AB=BF₂=t，
由雙曲線的定義可得，
AF₁-AF₂=2a，BF₂-BF₁=2a，AF₁=AB+BF₁，
即有t+2a=2t-2a，
解得，t=4a，
AF₁=6a，AF₂=4a，F₁F₂=2c，
由余弦定理可得，
F₁F₂²=AF₁²+AF₂²-2AF₁•AF₂cos60°，
即有4c²=36a²+16a²-2×6a×4a×

1

2

，
即為4c²=28a²，
則有e=

c

a

=

7

．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，考查雙曲線的定義的運用，考查余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．