Question

在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜邊AB上的兩個動點，且MN=

2

，則

CM

•

CN

的取值范圍為（　　）

• A、[3，6]
• B、[4，6]
• C、[2，

  5

  2

  ]
• D、[2，4]

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：通過建立直角坐標系求出AB所在直線的方程，設出M，N的坐標，將

CM

•

CN

=2（b-1）²+4，0≤b≤2，求出范圍即可．

解答： 解：以C為坐標原點，CA為x軸建立平面坐標系，
則A（3，0），B（0，3），
∴AB所在直線的方程為：

x

3

+

y

3

=1，則y=3-x，
設N（a，3-a），M（b，3-b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨設a＞b，
∵MN=

2

，
∴（a-b）²+（b-a）²=2，
∴a-b=1，∴a=b+1，
∴0≤b≤2，
∴

CM

•

CN

=（a，3-a）•（b，3-b）
=2ab-3（a+b）+9，
=2（b²-2b+3）=2（b-1）²+4，0≤b≤2，
∴當b=0或b=2時有最大值6；
當b=1時有最小值4．
∴

CM

•

CN

的取值范圍為[4，6]
故選B．

點評：熟練掌握通過建立直角坐標系、數量積的坐標運算是解題的關鍵．