Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，記函數的極小值為，若恒成立，求滿足條件的最小整數.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)0.

【解析】試題分析：（1）求函數的定義域和導數，討論的取值范圍，利用函數單調性和導數之間的關系進行求解即可．
（2）根據（1）求出求出函數的極小值為若

恒成立，轉化為恒成立，構造函數設 根據導數和函數的函數，求出 即可求出滿足條件的最小整數

試題解析：

（1）的定義域為，

①若，當時， ，

故在單調遞減，

②若，由，得，

（ⅰ）若，當時， ，

當時， ，

故在單調遞減，在， 單調遞增

（ⅱ）若， ， 在單調遞增，

（ⅲ）若，當時， ，

當時， ，

故在單調遞減，在， 單調遞增

（2）由（1）得：若， 在單調遞減，

在， 單調遞增

所以時， 的極小值為

由恒成立，

即恒成立

設，

令，

當時，

所以在單調遞減，

且，

所以， ，

且， ， ，

所以，

因為

得其中，

因為在上單調遞增

所以

因為， ，所以