Question

【題目】已知二次函數f（x）滿足條件f（0）＝1，及f（x+1）﹣f（x）＝2x．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）在區間[﹣1，1]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x+m的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）m＜﹣1

【解析】

（1）根據二次函數f（x）滿足條件f（0）＝1，及f（x+1）﹣f（x）＝2x，可求f（1）＝1，f（﹣1）＝3，從而可求函數f（x）的解析式；

（2）在區間[﹣1，1]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x+m的圖象上方，等價于x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立，等價于x2﹣3x+1＞m在[﹣1，1]上恒成立，求出左邊函數的最小值，即可求得實數m的取值范圍．

解：（1）令x＝0，則∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，

∴f（1）﹣f（0）＝0，

∴f（1）＝f（0）

∵f（0）＝1

∴f（1）＝1，

∴二次函數圖象的對稱軸為．

∴可令二次函數的解析式為f（x）．

令x＝﹣1，則∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，

∴f（0）﹣f（﹣1）＝﹣2

∵f（0）＝1

∴f（﹣1）＝3，

∴

∴a＝1，

∴二次函數的解析式為

（2）∵在區間[﹣1，1]上，y＝f（x）的圖象恒在y＝2x+m的圖象上方

∴x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立

∴x2﹣3x+1＞m在[﹣1，1]上恒成立

令g（x）＝x2﹣3x+1，則g（x）＝（x）2

∴g（x）＝x2﹣3x+1在[﹣1，1]上單調遞減，

∴g（x）min＝g（1）＝﹣1，

∴m＜﹣1.